股指期权教程:正确理解波动率

从期权定价公式可知,六个自变量中,五个是可以确定的或基本可以确定 的,唯——个无法确定的自变量就是波动率,因此使得波动率与期权价格之间 实际形成了一一对应关系,上一章的图3-6充分显示了两者间的对应关系。所 以,追问期权价格的高低问题或追问期权价格是否合理的问题,实际上就是追问 波动率的高低及是否合理,因而要正确理解期权价格,就必须正确理解波动率。
对初次接触期权交易的人而言,要做到正确理解波动率概念还真不是件 容易的事。为了帮助理解,下面对波动率的含义作进一步的解释。
(-)波动率与指数分布的直观认识
在本章的一开始,我们介绍了波动率的定义及各种不同的计算方式,但对 波动率究竟代表什么含义没有进行深入分析。为此,我们再用例子来解读波 动率的含义。
【例4-7】
在前面的表4-4中,我们知道,2012年第一季度(58个交易日)的年波动 率为23. 99%;2012年第二季度(59个交易日)的年波动率为17. 77%,两者间 有较大差异。
我们先看图4 – 5和图4-6,图4 – 5是2012年第二季度沪深300指数收 盘走势图,图中水平点线代表59个交易日的价格均线(2582. 9)。图4-6是 2012年1季度沪深300指数收盘走势图,同样,图中水平点线代表58个交易 日的价格均线(2529. 3)0

两个样本的交易日数只差1天,指数均值相差大致为2%,具有可比性。
图4 – 5和图4 – 6的重大差别在哪里,明眼人可能一眼就能看岀。如果以 50点作为一个间距,则图4 – 5的指数分布在7个区间内,而图4-6的指数分布 则有9个区间。直观上就能意识到:较大波动率的指数具有更大的分布区域。
如果进一步考察,我们还可以将指数划分出若干区间,计算指数落在不同 区间内的数量(频数)。图4-7是针对2012年第二季度的沪深300指数以50 点间距所作的频数图,图中竖直线代表均价。从图4-7中可见,58个交易日 中,指数落在2550和2600之间共有20个,占比34. 48%;在2600和2650之 间有16个,占比27.59%;在2550和2600之间有9个,占比15. 52%。如果将 各频数顶端连线,该连线即为频数分布线,在统计学中也被称为分布的密度曲 线。从图4-7看,该频度分布线呈现出中间高两头低的特点。图4-8是针对 2012年第一季度的沪深300指数以50点间距所作的频数图,与图4 – 7相比, 中间也有一个高点,两端趋向于降低,但频数分布曲线不那么光滑。

请注意图4 – 7和图4 -8中的最高频数。图4 – 7中,频数的峰值为20;而 图4-8中,频数的峰值只有13。峰值大,表明价格的分布相对比较集中;峰值 小,说明价格的分布相对比较分散。这与波动率大小的含义是一致的,波动率 大,价格分布度宽,其集中度自然会打折扣。
上面的间距都是取整为50点。实际上还有另一种做法:那就是以均价为 基准,以指数波动率的标准差作为间距单位。比如,对沪深300指数2012年 第二季度的数据而言,年波动率=17. 77%,对应的日波动率为虻=1. 129%, 指数均价=2582.9。则日价格变动的标准差a=2582. 9X 1. 129% = 29. 2点。 于是往上可以分别设置界线(2582. 9 + 1X29. 2) = 2 612.06、(2582. 9 + 2X 29.2)=2641. 22、(2582. 9 + 3X29. 2) = 2670. 38,这些界线分别被称为 財、
2。、3。;往下也可分别设置界线(2582. 9-1 X29. 2) = 2553. 74、(2582. 9- 2X29. 2) = 2524. 58、(2582. 9 —3X29. 2) = 2466. 26,这些界线分别被称为 —1。、一2。、一3<jo

在均值士。区间内,共计频数21个,占比35. 59% ; 在均值士2。区间内,共计频数38个,占比64. 41% ; 在均值±3。区间内,共计频数48个,占比81. 36% ; 在均值±4。区间内,共计频数51个,占比86.44%; 在均值士5°区间内,共计频数58个,占比98. 31%。
(二)正态分布假设
图4-7中的频数分布线具有中间高两头低的特点,这种类似钟形的分布 曲线就是正态分布曲线。标准的正态分布曲线不仅中间高两头低,而且还两 边对称。图4-9和图4-10都是正态分布曲线图形。
正态分布曲线的函数形式为:
甲(工)=2-
其中,fx为位置参数,。为尺度参数,通常记作N(pi, <7)
如果卩=0,。=1,则正态分布就是标准正态分布,通常记作N(0, l)o上 面的函数就变为:

正态分布曲线中的M是位置参数,实际上相当于前面例子中的指数均值。 曲线的最大值就是在X=fz的地方,与卩靠得越近,曲线的值就越大,离得越 远,曲线的值就越小;曲线的对称点也是在x=M的地方。在计算时,尽管M可 能不等于零,但可以将其转换成标准正态分布来计算。回看一下第三章的公 式(3. 10)和(3.11),其中的N()就是对括号内数值求标准正态分布函数值。
正态分布曲线有一个重要特性:曲线与横轴间的面积总等于lo
如果在X=N的地方向两边各延展1个a的距离,曲线在之间与横 轴间的面积应该等于68. 26%。在股指期权中,也可以理解为;在未来一段时 间内,指数落在卩士。间的可能性(概率)为68. 26%;同样,在未来一段时间内, 指数落在M±2a间的可能性(概率)为95. 45%;落在M±3a间的可能性(概率) 为99. 73%。M±3O的概率=99. 73%,通常被称为“3。原则”。
正态分布曲线中的a为尺度参数。a描述正态分布资料数据分布的离散 程度,实际上它就是期权中的波动率。图4-10中画出了三个不同a参数时的 情景。

从图4-10中可见,。越大,曲线越扁平,意味着数据分布越分散。结合 **3a原则”考虑,。越大,水平轴上覆盖的区域就越大。
当然,相反的情况是:a越小,数据分布越集中在/附近,曲线越瘦高。如 果结合“3a原则”考虑,a越小,水平轴上覆盖的区域就越小,但落在其中的概 率仍旧是99. 73%。在期权中,意味着未来价格落在3a之外的可能性很小,基 本可看作是小概率事件。
因此,。也被称为是正态分布的形状参数。
(三)理论与现实的差别
1.指数的实际分布与理论正态分布有差异
前面的【例4-2】、【例4 – 8]及图4-5、图4 – 7都是对2012年第二季度沪 深300指数进行的分析。由于这是已经过去的历史数据,所以统计数字都是 客观真实的。从统计中知道,其均值为2582. 9;年波动率为17. 77%,日波动 率为 1. 129%。
如果将【例4 -8】的统计结果与正态分布的3。原则相比,不难发现有很大 的差异。按3a原则,指数落在n+a间的概率应该是68. 26%,但【例4-8]的 统计结果告诉我们只有35. 59% ;按3。原则,指数落在M±2a间的概率应该是 95. 45 %,但【例4 – 8】的统计结果告诉我们只有64.41%;按3°原则,指数落在 间的概率应该是99. 73%,但【例4-8]的统计结果告诉我们只有 81. 36%。
这个差距说明什么?无非是两个原因:一是由于数据样本太小造成误 差;另一个则更直接的原因是指数的分布未必符合正态分布,或者可以说,指数 分布有可能与正态分布比较接近或近似,但完全符合正态分布基本上是不可能。
2.期权理论价实际就是预测价
前面介绍过预期波动率和实际波动率的概念,现在可以予以进一步说明。 比如,在前面的【例4-2]中,由于已经是过去式,因而得到17.77%的波动率 是实际的。但如果时间倒退到2012年3月30日,收盘指数为2454. 9时,你 想知道第二季度指数的波动率、均价等,都属于预测或预期范畴了。
假如你当初的预期波动率是20%,这意味着什么,用统计学的术语讲,就 是你预期:未来三个月内,指数落在2454. 9士 IX 2454. 9 X20%//248 = 2454. 9 + 31. 18区间内的概率等于68. 26%;指数落在2454. 9 + 2X2454. 9X 20%//W= 2454. 9 + 2 X 31. 18区间内的概率等于95. 45%;指数落在 2454. 9±3X2454. 9 X 20%/7^ = 2454. 9±3X31. 18 区间内的概率等于 99. 73%。
假如你预期波动率将是40%,这意味你预期:未来三个月内,指数落在 2454. 9± 1 X 2454. 9 X 40%/7248 = 2454. 9 ± 62. 35 区间内的概率等于 68. 26%;指数落在 2454. 9 + 2X2454. 9X40%/JW = 2454. 9±2X62. 35 区 间内的概率等于95. 45% ;指数落在2454. 9 + 3 X 2454. 9 X 40%//248 = 2454. 9 + 3X62. 35区间内的概率等于99. 73%。
显然,你预期的波动率越高,等同于预期未来指数的分布会更宽。
对隐含波动率,其背后的原理是相同的,其差别在于隐含波动率反映的是 市场预期未来指数分布的宽度大小,而非你个人的主观预期。
预期未来指数分布的宽度越大,即波动率越高,期权的理论价值就越高, 这一点与保险定价方式相似,即预期指数分布宽度越大,卖出期权者的风险越 大,要求的权利金自然越高。
期权的理论价由六个参数决定,在任一时间点,其中五个因素都是确定 的,是客观因素,唯有波动率是主观预测因素。读者应该能够明白,理论价确定 因素中只要有一个是预测的,导致的结果势必也是预测性质的,因此,理论价实 际就是预测价!不要被“理论”两字所迷惑,以为带上“理论”两字就是科学。
3. 波动率与方向性无关
指数的预期波动率是对未来指数分布区间大小的一种估计。所谓的“分 布”,表面上看是指数大小的分布,但由于分布中的每一个指数对应的时间点 是不同的,因此这种分布实际上也是时间上的分布。因此,这里的“未来”是指 整个未来时间段,而非仅指未来的最后时刻。一个高波动率指数在期权到期 日可能与起点相差无几,但只要在过程中该指数的分布区间确实够大,高波动 率的描述就是正确的。由此可见,波动率预期的内容是“未来指数分布区间大 小”而非“未来最后时刻指数的高低”。
期权价格隐含的是未来时间段内指数上下波动的范围,并没有预期变动 的方向。这意味着,期权价格的高低不仅与交割日指数的高低没有关系,即使 在时间段内,与指数的涨跌方向也无关。在未来时间段内,众多的变动方式如 先跌后涨、先涨后跌或直涨直跌等都可以体现出相同的波动率。
波动率与指数都是影响期权价格的因素,但两者彼此之间是互相独立的, 自然不存在互相影响的关系。
4. 指数变动对期权价格的影响是第一位的
前面的例4-2中,起点指数2454. 9,预测的波动范围是以2454. 9作为波 动基准的。但实际后来表现岀的均值是2582. 9,意味着实际波动是以 2582. 9为基准的,即使你在开始就准确地猜测到未来三个月的波动率将是 17. 77%,两者波动的范围与预测的范围也不一样了。更一般的情况可以用图 4-11来描述。

在图4-11中,假定指数在2400点时,期权有一个较高的隐含波动率6, 意味着当时市场认为未来一段时间内指数的分布将比较宽(从图上看大致为 上下400点),但后来出现了上涨行情,到期权交割后才知道期间的实际波动 率为较小的如,指数的实际均价为2600,实际波动范围大致为上下200点。
由于实际指数是往上波动的,当初买进看涨期权的交易者,尽管波动率降 低是非常不利的,但指数上涨对期权价格的影响力远大于波动率,在指数上涨后,原来的平值期权变成实值期权,因此该交易者将有较大的获利;卖出看涨 期权者正好相反,他卖出时的波动率较高,实际波动率降低本来是有利的,但 上涨行情对他造成的杀伤力更大;对买进看跌期权的交易者而言,买进时的波 动率较高,意味着权利金也较高,即使指数不变,实际波动率降低也会导致权 利金下跌,而指数上涨更是使得原来的平值期权变成虚值期权,价值因此一落 千丈;卖岀看跌期权者正好相反,基本上等于坐收一笔权利金。
波动率在期权交易中具有重要地位,在其他因素确定的情况下,波动率决 定了期权价格的高低。但必须注意,其他因素如指数和时间等也都是确定期 权价格的重要变量,因此,所谓的波动率确定期权价格只是静态和暂时的。在 影响期权价格的因素中,指数的影响是第一位的,一旦指数发生了涨跌,原来 的静态平衡就被打破,期权价格将按照最新指数重新定位。

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